진법

1. 개요 및 정의

1.1 한 줄 요약

• 특정 숫자를 몇 개의 기호로 표현하고 계산할지 규칙을 정하는 약속이며, 마치 우리가 숫자를 셀 때 10개(0~9)의 기호를 사용하는 것처럼 컴퓨터는 2개의 기호(0과 1)만을 사용하도록 정한 규칙이다.

1.2 공식 정의

• 진법(Radix or Base)은 숫자를 표기하는 방법의 집합으로, 특정한 수 r개를 묶어 상위 자릿수로 올리는 방식(r진법)을 의미한다.
  • 여기서 r을 기수(Radix 또는 Base)라고 부른다.
  • 일반적으로 n진법의 수는 n개의 기호(통상적으로 0부터 n-1)를 사용하여 값을 표현한다.
  • 7진법은 0~6 까지로 나타낸다.

2. 동작 원리

2.1. 자릿값의 원리 (Positional Notation)

• 모든 진법은 위치적 기수법(Positional Notation)에 기반하며, 각 자릿값이 기수의 거듭제곱에 비례하여 증가한다.
  • 숫자의 위치가 그 숫자의 실제 value 를 결정한다는 것이다.
• 예시1 - 2진수
  • 2진수 $(101{)}_2$(101)2​를 자릿값 원리로 분해하면 다음과 같다.
  • 기수가 10이 아닌 2가 된다.

2.2 r진법 수의 표현

• r진법으로 표현된 수 $(d_n{d}_{n-1}\dots d_1{d}_0{)}_r$(dn​dn−1​…d1​d0​)r​ 의 실제 값은 다음과 같이 계산된다.

  $Value=d_n\cdot r^n+d_{n-1}\cdot r^{n-1}+\cdots +d_1\cdot r^1+d_0\cdot r^0$Value=dn​⋅rn+dn−1​⋅rn−1+⋯+d1​⋅r1+d0​⋅r0

  • $d_i$di​: i번째 자릿수의 숫자 (항상 0≤di​<r를 만족해야 한다).
  • $r^i$ri: i번째 자릿값의 가중치(Weight).

2.3 예시: 10진법

$(123{)}_{10}=1\cdot {10}^2+2\cdot {10}^1+3\cdot {10}^0=100+20+3=123$(123)10​=1⋅102+2⋅101+3⋅100=100+20+3=123

2.4 컴퓨터와 주요 진법

• 컴퓨터 과학에서는 주로 2진법, 8진법, 16진법을 사용한다.

3. 진법 변환 원리

3.1 r진수 $\to$→ 10진수

• 각 자릿값에 $r^i$ri의 가중치를 곱하여 모두 더한다 (위의 2.1. 자릿값의 원리 참조).
• 예시 1: 2진수를 10진수로 변환
  • 문제: $(1101{)}_2$(1101)2​ 를 10진수로 바꾸면
    1. 자릿값 나열: 오른쪽 끝부터 $2^0,2^1,2^2,2^3$20,21,22,23 순서다.
       1. $1\times 2^3=1\times 8=8$1×23=1×8=8
       2. $1\times 2^2=1\times 4=4$1×22=1×4=4
       3. $0\times 2^1=0\times 2=0$0×21=0×2=0
       4. $1\times 2^0=1\times 1=1$1×20=1×1=1
    2. 모두 더하기: $8+4+0+1=13$8+4+0+1=13
  • 문제: 16진수를 10진수로 변환
    1. 자릿값 나열: 오른쪽 부터 ${16}^0,{16}^1$160,161 순서다.
       1. $2\times {16}^1=2\times 16=32$2×161=2×16=32
       2. $F\times {16}^0=15\times 1=15$F×160=15×1=15
    2. 모두 더하기: $32+15=47$32+15=47

3.2 10진수 $\to r$→r진수

• 10진수를 r로 나누고 남은 나머지(Remainder)를 역순으로 읽는다.
  • 단계 1: 10진수를 r로 나눈다.
  • 단계 2: 그 나머지가 r진수의 가장 낮은 자릿값(LSB)이 된다.
  • 단계 3: 몫을 다시 r로 나누고, 그 나머지가 다음 자릿값이 된다.
  • 단계 4: 몫이 0이 될 때까지 반복한다.

예시: $(13{)}_{10}\to 2$(13)10​→2진법

1. $13÷2=6\dots 1$13÷2=6…1
2. $6÷2=3\dots 0$6÷2=3…0
3. $3÷2=1\dots 1$3÷2=1…1
4. $1÷2=0\dots 1$1÷2=0…1

결과: $(1101{)}_2$(1101)2​

3.3 2진수 $\leftrightarrow$↔ 8진수/16진수

• 2의 거듭제곱 진법 간의 변환은 그룹화를 통해 간단하게 이루어진다.
  • 2진수 $\leftrightarrow$↔ 8진수 (Base $2^3$23): 2진수 3자리를 묶어 8진수 1자리로 변환한다.
  • 2진수$\leftrightarrow$↔ 16진수 (Base $2^4$24): 2진수 4자리를 묶어 16진수 1자리로 변환한다.
• 예시: 2진수 $(11010{)}_2\to$(11010)2​→ 8진수로 변환
  • 8진수 한 자리는 0~7 $(2^3-1)$(23−1)까지 표현 가능하므로, 2진수 3비트와 정확히 매칭된다.
    1. 뒤에서부터 3자리씩 끊기: 11 | 010
    2. 앞자리 0 채우기 (Padding): 011 | 010 (3자리를 맞추기 위해 앞에 0 추가)
    3. 각 묶음을 변환:
       1. $011\to 1+2=3$011→1+2=3
       2. $010\to 0+2+0=2$010→0+2+0=2
    4. 결과 합치기: $(32{)}_8$(32)8​
• 예시: 2진수 $(101110{)}_2\to$(101110)2​→ 16진수로 변환
  • 16진수 한 자리는 0~15 $(2^4-1)$(24−1)까지 표현 가능하므로, 2진수 4비트와 매칭된다.
    1. 뒤에서부터 4자리씩 끊기: 10 | 1110
    2. 앞자리 0 채우기: 0010 | 1110
    3. 각 묶음을 변환:
       1. $0010\to 2$0010→2
       2. $1110\to 8+4+2+0=14\to 16진수기호E$1110→8+4+2+0=14→16진수기호E
    4. 결과 합치기: $(2E{)}_{16}$(2E)16​

4. 실수의 표현 및 변환

• 정수 부분이 $r^0,r^1$r0,r1로 커지는 것과 달리, 소수점 이하는 $r^{-1},r^{-2}$r−1,r−2 형태로 작아진다.

4.1 소수점이 포함된 2진수 → 10진수

• 자릿값(Weight)인 $0.5\left(2^{-1}\right),0.25\left(2^{-2}\right),0.125\left(2^{-3}\right)$0.5(2−1),0.25(2−2),0.125(2−3)을 더한다.
  • $(0.101{)}_2=(1\times 0.5)+(0\times 0.25)+(1\times 0.125)=0.625$(0.101)2​=(1×0.5)+(0×0.25)+(1×0.125)=0.625

4.2 소수점이 포함된 10진수 → 2진수

• 소수 부분에 2를 곱하고 정수 부분을 취하는 과정을 반복한다.
  • 예시: $0.6875\to 2$0.6875→2진수
    • $0.6875\times 2=1.375\to 1취함,0.375남음$0.6875×2=1.375→1취함,0.375남음
    • $0.375\times 2=0.75\to 0취함,0.75남음$0.375×2=0.75→0취함,0.75남음
    • $0.75\times 2=1.5\to 1취함,0.5남음$0.75×2=1.5→1취함,0.5남음
    • $0.5\times 2=1.0\to 1취함,0.0종료$0.5×2=1.0→1취함,0.0종료
  • 결과: $(0.1011{)}_2$(0.1011)2​

5. 음수의 표현

• 컴퓨터는 뺄셈 회로 없이 덧셈 회로만으로 뺄셈을 처리하기 위해 '2의 보수(Two's Complement)' 방식을 표준으로 사용한다.

5.1 부호 비트 (MSB, Most Significant Bit)

• 0: 양수 (+)
• 1: 음수 (-)
• 데이터의 가장 왼쪽 비트(MSB)를 부호를 나타내는 용도로 사용한다.

5.2 2의 보수 변환 알고리즘

• 음수 -N을 표현하기 위해 양수 N을 변환하는 단계는 다음과 같다.
  1. 1의 보수 (Invert): 모든 비트를 반전시킨다. $(0\to 1,1\to 0)$(0→1,1→0)
  2. 2의 보수 (Add 1): 결과에 1을 더한다.

5.3 변환 예시: -5 만들기 (8비트 기준)

• 양수 5 표현: 0000 0101
• 비트 반전: 1111 1010 (1의 보수)
• 1 더하기: 1111 1011 (2의 보수)
  • 최종 결과: 1111 1011이 컴퓨터가 인식하는 -5이다.

0000 0101   (10진수 5)
 +  1111 1011   (10진수 -5, 2의 보수 형태)
 ---------------------------------------
(1) 0000 0000   (결과: 0)
 ↑
 └── Overflow (버림): 8비트 범위를 벗어난 최상위 비트(Carry)는 무시된다.

6. 사용법 및 구문 (Syntax)

• 프로그래밍 언어에서는 진법을 명시하기 위한 접두사(Prefix)를 사용한다.

6.1. C/C++, Java 등 주요 언어의 표기법

6.2. 코드 예시

# 10진수
decimal_num = 255

# 2진수 표기
binary_num = 0b11111111
print(f"2진수 0b11111111은 10진수로 {binary_num}이다.") 
# 출력: 255

# 16진수 표기
hex_num = 0xFF
print(f"16진수 0xFF는 10진수로 {hex_num}이다.")
# 출력: 255

# 진법 변환 함수
print(f"255를 2진수로: {bin(255)}") # '0b' 접두사 포함 문자열로 반환
print(f"255를 8진수로: {oct(255)}") # '0o' 접두사 포함 문자열로 반환
print(f"255를 16진수로: {hex(255)}") # '0x' 접두사 포함 문자열로 반환